1. terceraedicion MURRAY R SPIEGEL 2. ecuacrones diferenciales,aplzcadas MURRAY R. SPIEGEL Consultor matemtico y ex-profesor yjefe, Departamento de Matemticas Rensselaer Polytechnic InstituteHartford Graduate Center Traduccin: HENRY RIVERA GARCIA M. Sc.,Ingeniera Industrial, University of Pittsburgh PRENTICE-HALLIHISPANOAMERICANA, S.A. M6xlco n Englewood Cllffs n Londres mSydney l Toronto n Nueva Delhi n Tokio n Singapur n Rio de Janeiro3. ecuaczones drjcerenciales aplicadas MURRAY R. SPIEGEL Consultormatemtico y ex-profesor y jefe, Departamento de MatemticasRensselaer Polytechnic Institute Hartford Graduate CenterTraduccin: HENRY RIVERA GARCIA M. Sc., Ingeniera Industrial,University of Pittsburgh PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA, S.A.Mbxico n Englewood Cliffs n Londres l Sydney H Toronto H NuevaDelhi n Tokio n Singapur n Rio de Janeiro 4. ECUACIONESDIFERENCIALES APLICADAS Prohibida la reproduccin total o parcial deesta obra, por cualquier medio o rn&odo, sin autorizacinescrita del editor. DERECHOS RESERVADOSOWS3, respecto a la primeraedicin en espafiol por: PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA, S.A.Enrique Jacob No. 20, Col. El Conde C.P. 53500 NauCalPan de Juarez. Edo. de Mxico. Miembro de la- Camara Nacional de la IndustriaEditorial, Reg. Nm. 1524 Traducido de la tercera edicin en ingl6sde APPLIED DIFFERENTIAL EQUATIONS Copyright @ MCMLXXXI byPrentice-Hall Inc. ISBN O-13-234997-3 3456789012 E.C.-BE 86123457gOImpreso en Mxico Printed in Mexico u oc1 PROGRAMAS EDUCATIVOS, S.A.Calz. de Chabacano 65 Local A Col. Asturias Del. Cuauhtkmoc looo1994 q 0 L 5. A mi madre 6. contenido PREFACIO . . XIII parte Z 1.1.1 1.2 1.3 1 .4 + 2. 2.1 2 . 2 ecuaciones diferenciales ordinarias1 CAPITULO UNO ECUACIONES DIFERENCIALES EN GENERAL Conceptos deecuaciones diferenciales Algunas definiciones y observacionesEjemplos sencillos de problemas de valor inicial y de fronteraSoluciones generales y particulares Soluciones singularesObservaciones adicionales relacionadas con las solucionesObservaciones sobre existencia y unicidad Campo de direcciones y elmtodo de las isoclinas CAPITULO DOS ECUACIONES DIFERENCIALES DEPRIMER ORDEN Y ORDINARIAS SIMPLES DE ALTO ORDEN 3 4 1. El m6todo deseparacin de variables 3 5 2. El mtodo de latransformacin devariables 3 8 2 . 1 L a e c u a c i n homog6nea 3 8 2.2 Otrastransformaciones especiales 3 9 3. La idea intuitiva de exactitud 41 4. Ecuaciones diferenciales exactas 4 3 5. Ecuaciones hechasexactas por un factor integrante apropiado 4 8 5.1 Ecuacioneshechas exactas por factores integrantes que involucran una variable4 9 vii 2 3 3 7 1 5 2 0 2 3 2 3 2 8 7. 5.2 5 . 3 6. 6.1 6 . 2 + 7 .8. 1. 1.1 1.2 2. 2.1 2 . 2 2 . 3 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. l l . 12.13. 13.1 13.2 1 3 . 3 14. 14.1 14.2 1. 2. 3. 3.1 3 . 2 3 . 3 3 . 44. 4.1 4 . 2 4 . 3 4 . 4 VIII La ecuacin de primer orden lineal Elmtodo de inspeccin Ecuaciones de orden superior al primero que seresuelven fcilmente Ecuaciones inmediatamente integrablesEcuaciones con una variable ausente La ecuacin de Clairaut Revisinde mtodos importantes 53 56 57 58 58 6 0 6 4 CAPITULO TRESAPLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y SIMPLESDE ORDEN SUPERIOR 70 Aplicaciones a la mecnica Introduccin Lasleyes del movimiento de Newton Aplicaciones a los circuitqselctricas Introduccin Unidades La ley de Kirchhoff Trayectoriasortogonales y sus aplicaciones Aplicaciones a la qumica y a lasmezclas qumicas Aplicaciones a flujo de calor de estadoestacionario Aplicaciones a problemas miscelneas de crecimiento ydecaimiento El cable colgante Un viaje a la Luna Aplicacionesacohetes Problemas de fsica que involucran geometria Problemasmiscelneas en geometra La defleccin de vigas Aplicaciones a biologaCrecimiento biolgico Un problema en epidemiologa Absorcin de drogasen rganos o clulas Aplicaciones a la economa Oferta y demandaInventarios 71 71 7 1 82 82 8 4 8 4 8 9 9 5 101 1 0 6 1 ll 116 120123 132 137 148 148 153 156 159 159 162 CAPITULO CUATRO ECUACIONESDIFERENCIALES LINEALES 1 6 6 La ecuacin diferencial Ilneal generalde orden n Existencia y unicidad de soluciones de ecuacioneslineales iCmo obtener -Ia solucin complementaria? La ecuacinauxiliar El caso de races repetidas El caso de races imaginariasIndependencia lineal y wronskianos iCmo obtener una solucinparticular? Mtodo de IOS coeficientes indeterminados Juswicacin almtodo de coeficientes indeterminados. El mtodo AniquiladorExcepciones en el mtodo de los coeficientes Casos donde funcionesms complicadas aparecen en el lado derecho 167 171 173 173 175 178181 192 192 194 196 199 8. 4.5 El m&odo de variacin deparmetros 4.6 Mtodos abreviados involucrando operadores - 5.Observaciones relacionadas con ecuaciones con coefici.entesvariables . las cuales se pueden transformar en ecuaciones linealescon coeficientes constantes: La ecuacin de Euler 6. Repaso demtodos importantes 2 0 2 2 0 7 2 1 5 2 1 8 CAPITULO CINCOAPLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 2 2 3 1. 1.1 1.21.3 1 . 4 2 . 3. 3.1 3 . 2 3 . 3 3 . 4 1. 1.1 1.2 1.3 1.4 1 . 5 1.62. 3. 3.1 3 . 2 3 . 3 4 . 4.1 4 . 2 4 . 3 4 . 4 4 . 5 Movimientovibratorio de sistemas mecnicos El resorte vibrante. Movimientoarmnico simple El resorte vibrante con amortiguamiento. Movimientosobre amortiguado y crticamente amortiguado El resorte con fuerzasexternas El fenmeno de resonancia mecnica Problemas de circuitoselctricos 1 Problemas miscelneas El pndulo simple Oscilacionesverticales de una caja flotando en un lquido Un problema encardiografa Aplicacin a la economa 2 2 4 2 2 4 2 3 2 2 4 0 2 4 3 24 6 2 5 0 2 5 0 2 5 2 2 5 3 2 5 5 CAPITULO SEIS S O L U C I O N D EE C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S P O R TRANSFORMADASDE LAPLACE 2 6 0 Introduccin al mtodo de las transformadas deLaplace Motivacin para las transformadas de Laplace Definicin yejemplos de la transformada de Laplace Propiedades adicionales delas transformadas de Laplace La funcin Gamma Observacionesconcernientes a la existencia de las transformadas de Laplace Lafuncin salto unidad de Heaviside Funciones impulso y la funcindelta de Dirac Aplicacin de las transformadas de Laplace aecuaciones diferenciales Solucin de ecuaciones diferencialessencillas. Transformadas inversas d e Laplace Algunos mtodos parahallar transformadas inversas de Laplace Observacionesconcernientes a la existencia y unicidad de las transformadasinversas de Laplace Aplicaciones a problemas fsicos y biolgicosAplicaciones a circuitos elctricos Una aplicacin a la biologa Elproblema tautcrono-Aplicacin de una ecuacin integral en mecnicaAplicaciones involucrando la funcin delta Una aplicacin a la teorade control automtico y servorr,ecanismos 2 6 1 2 6 1 2 6 2 2 6 5 26 6 2 6 7 2 6 9 2 7 3 2 7 8 2 7 8 2 7 9 2 8 7 290 2 9 0 2 9 3 2 9 42 9 8 2 9 9 CAPITULO SIETE S O L U C I O N D E E C U A C I O N E SD I F E R E N C I A L E S U S A N D O S E R I E S 3 0 4 1.Introduccin al uso de serles 3 0 5 1.1 Motivacin para solucionescon series 3 0 5 iX 9. 1.2 Uso de la notacibn sumatoria 3 0 7 1.3Algunas preguntas de rigor 3 1 1 1.4 El m6todo de la serie deTaylor 3 1 7 1.5 Mtodo de iteracih de Picard 3 1 9 2 . El m&odode Frobenius 3 2 2 2.1 Motivacin para el mtodo de Frobenius 3 2 22.2 Ejemplos usando el mkodo de Frobenius 3 2 6 3 . Soluciones conseries de algunas ecuaciones diferenciales importantes 338 3.1 Laecuacin diferencial de Bessel 3 3 8 3 . 2 Ecuacin diferencial deLegendre 3 4 8 3 . 3 Otras funciones especiales 3 5 0 + CAPITULOOCHO FUNCIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE - 1. 1 .l- 1.2 - 1.3 - 2. - 2 . 1 2 . 2 3 . 3.1 3 . 2 3.3 4 . 4.1 4.2 4.34.4 4.5 5 . 5.1 5 . 2 1 . 1 . 1 1.2 1.3 1.4 1.5 2 . Funcionesortogonales Funciones como vectores Ortogonalidad Longitud o normade un vector. Ortonormalidad Problemas de Sturm-Liouville Motivacinpara los problemas de Sturm-Liouville. Eigenvalores yEigenfunciones Una aplicacin al pandeo de vigas Ortogonalidad delas funciones de Bessel y Legendre Ortogonalidad de las funcionesde Bessel Ortogonalidad de las funciones de Legendre Funcionesortogonales miscelneas Series ortogonales Introduccin Series deFourier Series de Bessel Series de Legendre Series ortogonalesmiscelneas Algunos tpicos especiales Ecuaciones diferenciales asmismo adjuntas El m&odo de ortonormalizacin de Gram-Schmidt 3 54 3 5 4 356 3 5 7 361 361 368 3 7 1 3 7 1 376 3 7 8 380 380 3 8 5403 408 4 1 1 414 414 4 1 7 CAPITULO NUEVE LA SOLUCION NUMERICA DEECUACIONES DIFERENCIALES 4 2 0 Solucibn numrica de y=f(x. y) Elmtodo de pendiente constante o mtodo de Euler El mtodo de pendientepromedio o mtodo modificado de Euler Diagramas de computadorAnBlisis de errores Algunas guas prcticas para la solucin numricaEl mtodo de Runge-Kutta 421 4 2 2 4 2 5 4 2 7 428 4 3 1 4 3 3 3 5 310. parte II sistemas de ecuaciones diferenciales ordinariasCAPITULO DIEZ SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y SUSAPLICACIONES 1. Sistemas de ecuaciones diferenciales 1.1 Motivacinpara los sistemas de ecuaciones diferenciales 1.2 Mtodo deeliminacin para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales 1.3El uso de operadores en la eliminacin de incgnitas 1.4 Mtodosabreviados de operador 2 . Soluciones de sistemas no lineales deecuaciones diferenciales ordinarias 3 . Ecuaciones diferencialesexpresadas como sistema de primer orden 4 . Aolicaciones a lamecnica 4.1 El vuelo de un proyectil 4.2 Una aplicacin a astronoma4.3 El movimiento de satlites y msiles 4.4 El problema de las masasvibrantes 5 . Aplicaciones a las redes ekctricas 6. Aplicaciones ala biologa 6.1 Concentracin de una droga en un sistema de doscompartimientos 6.2 El problema de epidemia con cuarentena 7. Elproblema depredador-presa: Un problema en ecologa 7.1 Formulacinmatemtica 7.2 Investigacin de una solucin 7.3 Algunas aplicacionesadicionales 8. Solucin de sistemas lineales por transformadas deLaplace 9 . Mtodo de las soluciones complementaria y particular 9.1iCmo encontramos la solucin complementaria? 9 . 2 iCmo encontramosuna solucin particular? 9.3 Resumen del procedimiento438 439 439441 443 446 448 449 452 452 461 465 470 476 481 481 484 488 489 490497 498 500 502 506 507 + CAPITULO ONCE METODOS DE EIGENVALORES DEMATRICES PARA SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 51Q 1.El concepto de una matriz 5 1 1 1 . 1 Introduccin 511 1.2 Algunasideas simples 511 1 .3 Vectores fila y columna 5 12 1 .4Operaciones con matrices 514 2 . Ecuaciones diferencialesmatriciales 521 3. La solucin complementaria 522 3.1 Eigenvalores yegenvectores 523 3.2 El caso de eigenvalores reales distintos 5243.3 El caso de eigenvalores repetidos 526 3.4 El caso deeigenvalores imaginarios 527 3.5 Un problema algo ms complicado 529Ki 11. 3 . 6 Independencia lineal y wronskianos 4 . La solucinparticular 5. Resumen del procedimiento 6. Aplicaciones usandomatrices 7. Algunos tpicos especiales 7.1 Ortogonalidad 7.2Longitud de un vector 7 . 3 Eigenvalores y eigenvectores dematrices reales simtricas 5 3 2 5 3 3 5 3 4 5 3 5 5 3 9 5 3 9 541 54 2ecuaciones dijkrenciales parciales 1. 1.1 1.2 1.3 1.4 2. 3. 3.1Problemas que involucran vibraciones u oscilaciones. La cuerdavibrante 3 . 2 Problemas que involucran conduccin o difusin decalor. 3 . 3 Problemas que involucran potencial elbctrico ogravitacional 3 . 4 Observaciones sobre la deduccin de ecuacionesdiferenciales parciales 1. 1.1 , 1.2 1.3 1.4 2. 2.1 2 . 2 2 . 3 3.4. 4.1 4.2 C A P I T U L O D O C E E C U A C I O N E S D I F E R EN C I A L E S PAFWALES E N G E N E R A L El concepto de una ecuacindiferencial parcial Introduccin Soluciones de algunas ecuacionesdiferenciales parciales sencillas Significado geomtrico de lassoluciones general y particular Ecuaciones diferenciales parcialesque surgen de la eliminacin de funciones arbitrarias El mtodo deseparacin de variables Algunas ecuaciones diferenciales parcialesimportantes que surgen de problemas fsicos CAPITULO TRECE S O L U CI O N E S D E P R O B L E M A S D E V A L O R D E F R O N T E R A US A N D O S E R I E S D E F O U R I E R Problemas de valor defrontera que involucran conduccin de calor El problema de FourierProblemas que involucran fronteras aisladas Temperatura de estadoestacionario en una placa semi-infinita Interpretacin de difusin dela conduccin de calor Problemas de valor de frontera que involucranmovimiento vibratorio El problema de la cuerda vibrante La cuerdavibrante con amortiguamiento Vibraciones de una viga Problemas devalor de frontera que involucran la ecuacin de Laplace Problemasmiscelneas La cuerda vibrante bajo la gravedad Conduccin-de caloren una barra con condiciones no cero en los extremos 5 5 0 551 5515 5 1 554 5 5 5 560 5 6 9 5 6 9 5 7 3 5 7 7 5 7 8 5 8 1 582 5 8 2 58 8 5 9 0 593 59? 5 9 7 6oF 6 0 3 6 0 7 6 1 5 6 1 5 6 1 7 X i i 12.4.3 4.4 La cuerda vibrante con velocidad inicial no ceroVibraciones de una piel de tambor cuadrada: Un problema queinvolucra series dobles de Fourier 4.5 Conduccin de calor conradiacin 4 CAPITULO CA TORCE SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE VALOR DEFRONTERA USANDO FUNCIONES DE BESSEL Y DE LEGENDRE 1. 2 . Y-2.1 -2.2 - 2.3 - 2.4 3. - 3.1 - 3.2 - 3.3 4 . 4.1 4.2 4.3 IntroduccinProblemas de valor de frontera que conducen a funciones de BesselEl Laplaciano en coordenadas cilndricas Conduccin de calor en uncilindro circular Conduccin de calor en un cilindro radianteVibraciones de una piel de tambor circular Problemas de valor defrontera que conducen a funciones de Legendre El Laplaciano encoordenadas esfricas Conduccin de calor en una esfera Potencialelctrico o gravitacional debido a una esfera Problemas miscelneasEl problema de la cadena vibrante Potencial ektrico debido a unalambre circular uniformemente cargado El problema de la bombaatmica APENDICE DETERMINANTES RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS TABLAS:DE TRASFORMADAS. .; DE INTEGRALES. BIBLIOGRAFIA MATEMATICOS QUEHICIERON APORTES. . INDICE 619 620 625 . 6 3 2 6 3 3 633 633 634637 638 646 646 648 651 655 655 659 662 A - l A - 7 T - l B - l M -l I-1 X,II 13. pre fado El propsito de este libro es el deproporcionar una introduccin a las ecua- ciones diferenciales y susaplicaciones para los estudiantes de ingeniera, ciencias ymatemticas. Para alcanzar este propsito, el libro ha sido escritocon los siguientes objetivos: 1. Demostrar cmo las ecuacionesdiferenciales pueden ser tiles en la solucin de variados tipos deproblemas-en particular, mostrar al estudiante cmo (a) traducirproblemas a un lenguaje de ecuaciones diferenciales, esto es,establecer la formulacin matemtica de problemas; (b) resolver laecua- cin diferencial resultante sujeta a condiciones dadas; y (c)interpretar las soluciones obtenidas. Problemas elementales demuchos campos diferentes e importantes se explican en relacin a suformulacin matemtica, solucin, e interpretacin. Las aplicacionesestn ordenadas de modo tal que los tpicos de mayor inters a losestudiantes o al profesor pueden escogerse sin dificultad. 2.Motivar a los estudiantes de modo que se consiga un entendimientode los tpicos y se desarrolle un inters. Esto se hace por medio deayudas como ejemplos, preguntas y problemas para discusin. 3.Proporcionar relativamente pocos mtodos de resolver ecuacionesdife- renciales que pueden aplicarse a un grupo grande deproblemas. Se ha enfa- tizado en un nmero mnimo de mtodos bsicosque el estudiante encuentra normalmente en la prctica; otros mtodosmenos utilizados que sin embargo son de inters se pueden encontraren los ejercicios. 4. Proporcionar al estudiante que deseeinvestigar mtodos e ideas ms avanzados, o problemas y tcnicas mscomplicados una oportunidad para que lo haga. Esto se hace alofrecer cerca de 2.2K1 ejercicios ordenados en dificul- tad. Losejercicios tipo A son en su mayora fciles, requieren pocaoriginali- dad y estn diseados para propsitos de prctica. Losejercicios tipo B en- vuelven computaciones algebraicas mscomplicadas o mayor originalidad que xv 14. la del grupo A. Losejercicios tipo C estn dirigidos principalmente a comple- mentar elmaterial del texto; ellos exigen un alto grado de originalidad ycono- cimiento, diseados para desafiar al estudiante. 5. Unificarla presentacin a travs de un enfoque ordenado y lgico, ha- ciendonfasis en conceptos generales en vez de hacerlo en detallesaislados. Por ejemplo, despus de introducir el muy simple mtodo deseparacin de va- riables para resolver ecuaciones diferenciales deprimer orden, se introducen los conceptos de transformacin devariables y los de hacer una ecuacin exac- ta al multiplicar por unfactor integrante apropiado. Estos conceptos se usan luego en lasolucin de otros tipos de ecuaciones. 6. Separar la teora de lasecuaciones diferenciales de sus aplicaciones para dar ampliaatencin a cada una. Esto se consigue presentando la teora yaplicaciones en captulos separados, particularmente en los primeroscap- tulos del libro. Esto se hace por dos razones. Primero, desdeun punto de vista pedaggco, parece no aconsejable mezclar teora yaplicaciones en las etapas iniciales puesto que el principiantegeneralmente encuentra difcil la formu- lacin matemtica deproblemas aplicados; cuando l se ve forzado a hacerlo, adems deaprender tcnicas de solucin, generalmente ningn tema se do- mina.Al tratar teora sin aplicaciones y luego ampliar gradualmente a lasapli- caciones (al mismo tiempo que se revisa la teora), elestudiante puede apren- der mejor ambos tpicos puesto que laatencin as se concentra en slo un aspecto a la vez. Una segundarazn para separar teora y aplicaciones es la de facultar a losprofesores que deseen presentar un mnimo de aplicaciones de hacerlotan fcilmente sin tener que estar en la difcil posicin de tener quesaltar captulos. El libro est dividido en tres partes principales.Parte 1 trata de las OXU- ciones diferenciales ordinarias, Parte IIcon sistemas de ecuaciones diferen- ciales ordinarias y Parte IIIcon ecuaciones diferenciales parciales. ES til discutir loscaptulos en cada parte. Parte 1, ecuaciones diferencialesordinarias. El Captulo uno da una pre- sentacin general a lasecuaciones diferenciales incluyendo la motivacin por problemas devalor inicial y de frontera junto con tpicos relacionados. En elCaptulo dos se discuten mtodos para resolver algunas ecuaciones deprimer orden y simples de alto orden. Estos mtodos se aplican en elCaptulo tres a campos tales como fsica (incluyendo mecnica,electricidad, flujo de calor, etc.), qumica, biologa y economa. ElCaptulo cuatro discute mtodos basi- COS para resolver ecuacionesdiferenciales lineales mientras que el Capt,ulo cinco usa estosmtodos en problemas aplicados. En el Captulo seis se presenta latransformada de Laplace y se hacen aplicaciones a ecuacionesdiferenciales e integrales. Entre los tpicos consi- derados estn lafuncin gamma, funciones de impulso y la funcin delta de Dirac, elproblema tautcrono y servomecanismos, El Captulo ocho, el cual esopcional, introduce la idea de funciones orto- gonales y problemasde Sturm-Liouville usando generalizaciones a partir de vectores endos y tres dimensiones. Algunos tpicos tratados en este captulo soneigenvalores y eigenfunciones, y series ortogonales incluyendoseries de Fourier y de Bessel. En el captulo final de la Parte 1,Captulo nueve, se presenta una intro- duccin a varios mtodosnumricos para resolver ecuaciones diferenciales. xvi 15. En estecaptulo se incluye una discusin de diagramas de computador y ele-mentos de anlisis de errores. Parte II, sistemas de ecuacionesdiferenciales ordinarias. ESta parte con- siste de dos captulos. Elprimero de estos, el Capitulo diez, tiene e] propsito de servir deintroduccin general y de ofrecer varios mtodos pars resolverecuaciones diferenciales simultneas junto con aplicaciones talescomo el mo- vimiento planetario y de satlites, vibraciones,electricidad y biologa. Inclu- dos en este captulo estn losprincipios elementales del anlisis del plano de fase y estabilidadmotivados por el problema del depredador-presa en ecologa. Elsegundo captulo, Captulo once, el cual es otro captulo opcional,dis- cute mtodos matriciales para resolver sistemas lineales. Estecaptulo mues- tra cmo conceptos tericos importantes tales comoeigenvalores y ortogonali- dad surgen de manera natural en elproceso de solucin. Parte III, ecuaciones diferenciales parciales.Esta parte est compuesta de tres captulos. El primero de estoselCaptulo doce, intenta servir de una introduccin general a algunasde las ideas concernientes a las ecuaciones diferencialesparciales. Estas incluyen deducciones de ecuaciones importan- tesque surgen en varios campos tales como conduccin de calor, vibraciny teora de potencial. El segundo captulo, Captulo trece, presentamtodos de series de Fourier para resolver ecuaciones diferencialesparciales. Finalmen- te, el Captulo catorce, el cual es opcionalexplora mtodos para resolver ecua- ciones diferenciales parcialesusando funciones de Bessel y de Legendre. Un aspecto importante deeste captulo es el problema de la bomba atmica el cual se tratajunto con otros tipos de problemas ms convencionales yrelat,ivamen- te inofensivos dados en los Captulos doce y trece.Los captulos han sido escritos y ordenados para proporcionar unmximo de flexibilidad. Por ejemplo, los Captulos seis y once sepueden omitir sin nin- guna prdida de continuidad si ell profesordecide no cubrir las transformadas de Laplace o mtodos matriciales.Similarmente, en el Captulo diez el mtodo de la solucincomplementaria-particular para resolver sistemas de ecuacionesdiferenciales lineales se ilustra sin el uso de matrices mientrasque en el Ca- ptulo once se trata con matrices. As, el profesorpuede usar uno u otro o am- bos para demostrar sus relaciones. Comootro ejemplo, en el Captulo trece, el cual presenta mtodos deseries de Fourier para resolver ecuaciones diferen- cialesparciales, las series de Fourier se introducen en una manerahistrica, esto es, como Fourier pudo haberlas descubierto. Comoresultado, est,e captu- lo es esencialmente independiente delCaptulo ocho, el cual trata con funcio- nes y series ortogonales,proporcionndole al profesor la opcibn de omitir ente- ramente elCaptulo ocho. En casos donde pudiera existir alguna duda, loscaptulos y secciones de captulos han sido marcados con un diamantepara indicar que son opcionales. Sin embargo, los captulos ysecciones que han si- do marcados como opcionales (tales como losconcernientes a las transforma- . das de Laplace, mtodos numricos yaplicaciones particulares), no han sido marcados como tales debidoa que el cubrimiento u omisin de los tpicos in- cluidosgeneralmente dependern de la clase de curso que se ofrezca, Iost.pi- cos a considerar, etc. Debido al alto grado de flexibilidad,el libro se puede usar en una varie- dad de cursos empezando desdeun curso de uno a dos semestres e incluyen- do slo ecuacionesdiferenciales ordinarias o ecuaciones diferenciales ordina- rias yparciales. El diagrama en la pagina xvi, el cual indica secuenciasXVII 16. posibles de captulos, puede ser til al profesor en laplaneacin de un curso. Por ejemplo, en un curso semestral que cubraecuaciones diferenciales ordi- narias y parciales, una posiblesecuencia de captulos es 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 13. Una dobleflecha indica que los captulos se pueden intercambiar. As, porejemplo, el Captulo siete si se desea podra preceder al Captuloseis. El autor desea aprovechar esta oportunidad para expresar susagradeci- mientos a Esther y Meyer Scher por su continuado inters yestmulo; al gru- po asesor de la Prentice Hall, especialmente aLeslie Nade11 y E3ob Sickles, por su excelente cooperacin; y a lossiguientes profesores de matemticas quienes revisaron el manuscritoy proporcionaron muchas sugerencias tiles: Ebon E. Betz, UnitedStates Naval Academy; E. E. Burniston, North Carolina StateUniversity; John Burns, Virginia Polytechnic Institute and StateUni- versity; Ronald Hirschorn, Queens University; James Hurley,University of Connecticut; R. N. Kesarwani, University of Ottawa;Anthony L. Peressini, University of Illinois; William L. Perry,Texas A & M University; Daniel Sweet, University of Maryland;Henry Zatzkis, New Jersey Institute of Technology. * * * Fue ungran placer enterarme de la traduccin al idioma Espaol de mi libroEcuaciones diferenciales aplicadas, tercera edicin. Espero que estodar una oportunidad a otros de disfrutar la belleza del tema de lasecuaciones dife- renciales y sus numerosas aplicaciones. Murray R.Spiegel XVIII h te--.-^- 17. POSIBLES SECUENCIAS DE CAPITULOS 1.Ecuscionss diferenciales sn general 2. Ecuaciones diferenciales deprimer orden y amples de altoorden 1 3. Aphcacioner de ecacio**Dife- c rencmlesde primer orden y emplesde orden supermr 9. Lasoluci6n U- l 6. Funcionesorto- m6rics de .cu.cio- 4 c gonalss yprobls- - nes diferenciala masde Sturm- L,Oi,k l 11. MOtodosdee,gwwaloresde matrices para Yr mrnas de ecuacic- nerdifsrencialsslineales 13. Sotuciones de problemas de valor de frontera. uwdoseries de Fourier L I l l t I l 14. Solucionesds problemas de valorde frontera umdo funaoneds hs- d Y Legendra xix 18. diferencialesordinarias 19. uno ecuaciones diferenciales en general 1. CONCEPTOSDE ECUACIONES DIFERENCIALES 1.1 Algunas definiciones yobservaciones 1.2 Ejemplos sencillos de problemas de valor inicialy de frontera 1.3 Soluciones generales y particulares 1.4Soluciones singulares + 2. OBSERVACIONES ADICIONALES EN RELACION ALAS SOLUCIONES 2.1 Observaciones sobre existencia y unicidad 2.2Campo de direcciones y el mtodo de las isoclinas 2 . 20. Conceptosde ecuaciones diferenciales 1.1 ALGUNAS DEFINICIONES YOBSERVACIONES El descubrimiento independiente del clculo por Newtony Leibniz en el siglo 17 proporcion el mpetu para los grandesavances que siguieron en las matemticas, ciencias, e ingeniera. Unade las ms importantes y fascinan- tes ramas de las matemticas queproporcion el medio para las formulacio- nes matemticas ysoluciones de variados problemas en estas reas se llama ecuacionesdiferenciales, las cuales estudiaremos en este libro. Con el obje-to de seguir adelante, necesitamos primero algunas definiciones.Definicin 1. Una ecuacin diferencial es una ecuacin que involucrade- rivadas de una funcin desconocida de una o ms variables. Si lafuncin desconocida depende slo de una variable (de tal modo que lasderivadas son derivadas ordinarias) la ecuacin se llama una ecuacindiferencial or- dinaria. Sin embargo, si la funcin desconocidadepende de ms de una va- riable (de tal modo que las derivadas sonderivadas parciales) la ecuacin se llama una ecuacin diferencialparciul.* Ejemplo 1. La ecuacin L1.v -=2x+> 0 dx y =2x + y (1)en la cual y es una funcin desconocida de una sola variable x esuna ecua- cin diferencial ordinaria. Frecuentemente escribimos y =f(x) y llamamos a x la variable independiente, y y, la cual dependede x, la variable dependien- te. Por brevedad podemos denotar elvalor de y en x por y(x), y sus derivadas sucesivaspory(x), y ( x ), , osimplementey,y,. Ejemplo 2. d2X La ecuacin --2$--15x=0 dt2 (2)en la cual x es una funcin desconocida en una sola variable t esuna ecua- cin diferencial ordinaria. Podemos escribir x = g(t),donde t es la variable independiente y x la variable dependiente.Por brevedad podemos denotar el valor de x en t por x(t), y tambinpodemos denotar las derivadas por x(t), x(t), ., 0 simplemente x,x, 2 2 Ejemplo 3. La ecuacin g+2+ (3) en la cual V es una funcindesconocida en dos variables x y y es una ecua- cin diferencialparcial. Podemos escribir V= F(x, y), donde x y y son va- riablesindependientes y V es la variable dependiente. Por brevedad podemosdenotar el valor de V en x y y por V(x, y).*Excluimos de la clasede ecuaciones diferenciales aquellas que son identidades talesco1110 Ecuaciones diferenciales en genarel 3 21. Definicin 2. Elorden de una ecuacin diferencial es el orden de la deri- vada msalta que aparece en la ecljacin. Ejemplo 4. La derivada ms alta queaparece en la ecuacin (1) es dy/ dx, la cual es de primer orden,esto as, de orden 1. Por tanto, la ecuacin di- ferencial es unaecuacin de orden 1, o una ecuacin diferencial ordinaria de primerorden. Ejemplo 5. La derivada ms alta que aparece en ecuacin (2) esdLx/ dtz, la cual es de segundo orden, esto es, orden 2. La ecuacindiferencial es por tanto de orden 2, o una ecuacin diferencialordinaria de segundo or- den. Ejemplo 6. La derivada ms alta queaparece en ecuacin (3) es i2V/Ox2 0 i2Vliy2, ambas son de segundoorden. Por tanto, la ecuacin diferencial es una ecuacin diferencialparcial de segundo orden. Osemmh 1. Una ecuacin diferencialordinaria de orden 11 puede expresarse como g(x, y, y,, J, . . ,2.)= 0 (4) Si podemos resolver esta ecuacin por la derivada msalta, obtenemos una o ms ecuaciones de orden n tomanalo lasiguiente forma:p) = F-(x, j, y, . > 4 - l)) (5) Ejemplo 7. Laecuacin de primer orden (y) + xy -y = 0 es equivalente a lassigientes dos ecuaciones de primer orden (6) y = &p-Tq - XI), 2= -&/TT-q + s) (7) Observacin 2. Adicionalmente a su orden, estil clasificar una ecua- cin diferencial ordinaria como una(ecuacin diferencial lineal o no-lineal de acuerdo a la siguiente.Definicin 3. Una ecuacin diferencial ordinaria lineal es unaecuacin que puede ser escrita -en la forma a,(x)y + a,(x)J- l + .. + an-,(X)J + U,(X)J = F(s) (8) donde F(x) y los coeficientesa,(x), a, (x),. , a,(x) son funciones dadas de x y a,(x) no esidntica a cero.* Una ecuacin diferencial que no puede escribirse enla forma (8) se llama una ecuacin diferencial no-lineal. Ejemplo 8.Las ecuaciones (1) y (2) son ecuaciones diferenciales ordina- riaslineales. Ejemplo 9. La ecuacin (6) o las dos ecuacionesequivalentes (7) son no- lineales. *En lgebra OU + IL donde a y bno dependen de u o de LJ frecuentemente se llama una fun- cinlineal de u y U. La terminologa linevzl cen la Definicin 3 estinspirada en una generaliza- cin de esta idea debido a que el ladoizquierdo de (8) es una funcin lineal de J, y , , J (). 1 4 Captulauno 22. Las ideas presentadas en las Observaciones 1 y 2 tambin sepueden ex- tender a las ecuaciones diferenciales parciales. Comotendremos ocasin de observar a lo largo de este libro, lasecuaciones diferenciales lineales son en general ms fciles demanejar que las ecuaciones no lineales. Definicin 4. Una solucin deuna ecuacin diferencial es cualquier fun- cin que satisface laecuacin, esto es, la reduce a una identidad. Ejemplo 10. Lasfunciones definidas por X= eS 1 y x = e-3 f son dos so- luciones dela ecuacin (21, puesto que la sustitucin de stas conducen res-pectivamente a 25P - 2(5P) - 15f? = 0, ge-31 - 2(-3r-3) - 15p-3 = 0las cuales son identidades. Otra solucin es x = 0, y pueden existirotras. IDe hecho x=c,e+,e- donde cl y cp son constantesarbitrarias es una solucin. Ejemplo ll. La funcin definida por V=exsen 231 es unn solucin de ((3) puesto que dV F v 3lJ d.- = 38 sen2y, a-2 = 9 sen 2y, F = 2e3- cos s, p ,, p = - 4e.j 1 sen 2y demodo que al sustituir encontramos la sen2y) = e3xsen?4.. identidad9e3sen2y + 2( -4e3 Observacin 3. En los Ejemplos 10 y Il lassoluciones se dieron sin restricciones sobre los valores-que asumenlas variables independientes. Al- gunas veces, sin embargo, debemosrestringir tales valores, como por ejemplo cuando queremos que losvalores de la funcin sean reales o tengan otras propiedades. Porejemplo, si f(x) = V9 - 2, entonces para que f(x) sea real debemostener - 3 5 x 5 3. Tales valores constituyen lo que se llama el do-minio de la funcin. Cuando no se especifica el dominio, como muchasve- ces ocurre, asumimos que el dominio es el conjunto de todos losvalores para los cuales las operaciones indicadas producenresultados con sentido. As, por ejemplo, si una funcin se definepor f(x) = 1/(x - 3), entonces el domi- nio es el conjunto de todoslos valores de x excepto 3, esto es x.+ 3, puesto que la divisinpor cero carece de sentido. Ejemplo 12. La funcin definida por y =fl- es una solucin de y= -5. Y puesto que (10) y al sustituir en laecuacin diferencial (9) se obtiene una identidad Sin embargo, esclaro que si deseamos que la funcin sea real y la derivada (10)exista debemos restringir x al dominio -3 0, asumiendo que inicialmente (t = 0) estlocalizada en x = 2 y est via- jando a una velocidad u = - 5. (b)Trabaje parte (a) si solamente se sabe que la partcula estlocalizada inicialmente en x = 2, y en x = 7 cuando t = 1 +X 0 PFigura 1.1 Para formular matemticamente este problema, recordemosprimero del clculo que la velocidad y aceleracin de una partculaque s mueve a lo lar- go del eje x estn dadas respectivamente pordx d*x v=z Y a=Jp Entonces de la primera frase del enunciado delproblema se tiene d*x _ = 16 - 24t dt* la cual es la ecuacindiferencial requerida para el movimiento. (17) Solucin a la Parte(a) Las condiciones sobre la funcin x dadas en parte (a) son x = 2,v = -5 en t = 0 esto es, x(O) = 2, x(0) = - 5 (18) Se debera notarque el significado del signo menos en u = - 5 es de que la partculaest viajando inicialmente hacia la izquierda. Si integramos (17)una vez, encontramos dx - = 16t - 12t2 + c1 dt (19) donde c1 es unaconstante arbitraria. Esta constante puede determinarse de lasegunda condicin en (18) con t = 0 en (19). Encontramos - 5 = 0 +cr , esto es, c1 = - 5, de modo que dx - = 16t - 12t* - 5 dt (20)La integracin de (20) da x = 8t2 - 4t3 - 5t + c2 (21) donde c2 esotra constante arbitraria que puede determinarse de la primeracondicin en (18) con t = 0 en (21). Encontramos 2 = Cl + c:, o cO =2. As x = Sr2 -- 4t3 - 5t + 2 (2.2) Ecuaciones diferenciales engeneral 7 25. la cual es la ley requerida de movimientopermitindonos determinar la po- sicin en cualquier tiempo r > 0;por ejemplo, al tiempo t = 1, x = 1, al tiem- po t = 2, x = -8,etc. Solucin a la Parte (b) En esta parte todava tenemos la mismaecuacin di- ferencial (17) para el movimiento, pero las condicioneshan cambiado a s=2ent=O, x=7ent= 1 0 x(0) = 2, x(l) = 7 (23) Eneste caso integramos (17) como antes para obtener (19). Sinembargo, puesto que no tenemos una condicin para dx/dt, no podemostodava de- terminar c , , y por tanto debemos integrar (19) paraobtener x = 8t2 - 4t3 + c,t + c2 (24) Podemos ahora usar las doscondiciones en (23) para hallar las dos constan- tes arbitrarias en(24). Esto conduce a 2 = 0 + c2, 7 = B(l)2 - 4(l) + c, + c2 0 c,=l, cz =2 de modo que x = 8r2 - 4t3 + t + 2 (25) Las formulacionesmatemticas de las partes (a) y (b) en el problema anterior son,respectivamente, (al $= 16-24t, X(0) = 2, s(0) = - 5 (b) (F-C dtz=16-24t, x(0)=2,x(l)= 7 Una diferencia importante entre ellas es queen (a) las condiciones sobre la funcin desconocida x y susderivadas x o dx/dt estn especificadas en un ualor de la variableindependiente (en este caso t = 0), mientras que en (b) lascondiciones sobre la funcin desconocida x se especifican en dosvalores de la variable independiente (en este caso t = 0 y t = 1).Los dos tipos de pro- blemas presentados en (a) y (b),respectivamente, se llaman problemas de valor inicial y problemasde valor de frontera. Debemos as hacer las siguien- tes-definiciones. Definicin 5. Un problema de valor inicial es unproblema que busca deter- minar una solucin a una ecuacindiferencial sujeta a condiciones sobre la funcin desconocida y susderivadas especificadas en un valor de la varia- ble independiente.Tales condiciones se llaman condiciones iniciales. Definicin 6. Unproblema de valor de frontera es un problema que busca determinaruna solucin a una ecuacin diferencial sujeta a condiciones so- brela funcin desconocida especificadas en dos o ms valores de lavariable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones defrontera. Considere el siguiente ejemplo ilustrando lasobservaciones anteriores, E J E M P L O I L U S T R A T I V O 1 Unacurva en el plano xy tiene la propiedad de que su pendiente encual- quier punto (x, y) de ella es igual a 2x. Hallar la ecuacinde la curva si sta pasa por el punto (2,5). 8 Captulo uno L 26.Figura 1.2 Solucin Puesto que la pendiente de una curva encualquier punto (x, y) de ella est dada por dy/dx, del enunciadodel problema se tiene (28) una ecuacin diferencial de primer orden.Puesto que la curva debe pasar por el punto (2, 5), y=5 cuando x=2estoes, y(Z)=5 (29) El problema de resolver (28) sujeta a (29) esun problema de valor inicial. La integracin de (28) da y = x2 + c(30) donde c es una constante arbitraria. Usando la condicin (29)en (30) se ob- tiene 5 = (2)2 + c de modo que c = 1. As la curvarequerida est dada por y=x+l (31) Grficamente, (30) representa unafamilia de euruas en el plano zy, cada miembro de ella est asociadocon un valor particular de c. En la Figura 1.2 se muestran algunosde estos miembros para c = 0, - 1, 1, 2. Puesto que c pue- devariar, frecuentemente se llama un parmetro para distinguirlo delas va- riables principales x y y. La ecuacin diferencial (28) quees satisfecha por todos los miembros de la familia frecuentementese llama la ecuacin. dife- rencial de la familia. Observacin 5. Lamisma terminologa usada en este ejemplo puede tambin usarse en elproblema de la pgina 7. As, (24) representa una fami- lia de curvasen el plano tx, cada miembro de la cual est asociado con valo- resparticulares de los dos parmetros c 1 y cq , mientras que (17) esla ecua- cin diferencial de la familia. Para especificar el nmerode parmetros involucrados, algunas veces hablamos de una familia decurvas de un par-- metro, una familia de curvas de dos parmetros,etc. Las soluciones cerres- Ecuaciones diferenciales en general 927. pondientes a las ecuaciones diferenciales pueden entoncesreferirse como la solucin con un parmetro (o la familia desoluciones con un parmetro), la solucin con dos parmetros (o llafamilia de soluciones con dos parme- tros), etc. Tambin podemosreferirnos a estas curvas como curvas solucin. En el proceso de laformulacin matemtica de problemas aplicados, pue- den surgir muchasclases de ecuaciones diferenciales, como veremos en fu- l turoscaptulos. En la siguiente lista vemos una pequea muestra de ellas.d2x -= -kx dt2 (32) d2y dy xlix++xy=o dv VfM-=v2 dM Ely = w(x) sen20t y = ; JW a2v d2V a2v Jjp+&-T+s= g=k[$-$+$; (33) (34) (35)(36) (37) (38) (39) S2Y a2Y -= al-..- it2 2x2 ( 4 ) a4cp aq5r:x4+2- + * = F(x, y) sx2cy2 cy (41) La ecuacin (32) es famosa enel campo de la mecnica en conexin con el movimiento armnico simple,como en las oscilaciones pequeas de un pn- dulo simple. Elia podra,sin embargo surgir en muchas otras conexiones. La ecuacin (33)surge en mecnica, calor, electricidad, aerodinmica, anlisis deesfuerzos y en muchos otros campos. La ecuacin (34) surgi en unproblema de vuelo de cohete. La ecuacin (35) es una ecuacinimpcrtante en ingeniera civil en la teo- ra de deflexin odoblamiento de vigas. La ecuacin (36) puede surgir en ladeterminacin de la corriente I como una funcin del tiempo t en uncircuito de corriente alterna, pero tambin po- dra surgir enmecnica, biologa, y economa. La ecuacin (37) surge en conexin conun problema de suspensin de cables. La ecuacin (38) podra-surgir enproblemas de electricidad, calor, aero- dinmica, teora depotenciales, y n muchos otros campos. 1 0 Cbptulo uno 28. Laecuacin (39) surge en la teora de conduccin de calor, como tambinen la difusin de neutrones en una pila atmica para la produccin deener- ga nuclear. Tambin surge en la teora de movimiento browniano.La ecuacin (40) surge en conexin con la vibracin de cuerdas, comotambin en la propagacin de seales elctricas. La ecuacin (41) esfamosa en la teora de anlisis de esfuerzos. Estas son solo unapequea parte de las muchas ecuaciones que podran surgir en algunosde los campos de los cuales estn tomadas. Exmenes de ecuacionestales como stas por matemticos puros, matemticos aplicados, fsicostericos y aplicados, qumicos, ingenieros, y otros cientficos atravs de los aos han conducido a la conclusin de que existenciertos mtodos de- finidos por medio de los cuales muchas de estasecuaciones pueden resolver- se. Tales ecuaciones y mtodos junto conlos nombres de las personas asocia- das con ellas se darn a lolargo del libro.* A pesar de todo lo que se conoce, sin embargo,muchas ecuaciones permanecen sin solucin, algunas de ellas de granimportancia. Gigantescas mquinas modernas de clculo actualmen- teestn siendo ocupadas en determinar soluciones a tales ecuacionesvita- les para la investigacin relacionada con seguridad nacional,planeacin eco- nmica, e ingeniera aeroespacial as como tambin enmuchos otros campos. Uno de los objetivos de este libro es ofreceruna introduccin a algunos de los problemas importantes que surgenen la ciencia y la ingeniera con los cuales la mayora de cientficosdeberan estar familiarizados. Para conse- guir este objetivo, sernecesario demostrar cmo uno resuelve las ecuacio- nes que surgencomo resultado de las formulaciones matemticas de estos problemas.El estudiante debiera siempre recordar que hay tres etapas en lasolucin terica de problemas cientficos. 1. Formulacin rrktemticadel problema cientfico. Las leyes cientficas, que por supuesto estnbasadas en experimentos u observacio- nes, estn traducidas enecuaciones matemticas. En muchos casos un mo- delo matentico se usapara aproximarse a la realidad fsica. As, per ejem- plo, al tratarcon el movimiento de un planeta, tal como la tierra, alrededor delSol, podemos considerar a la Tierra y al Sol como partculas (opuntos de masa). Sin embargo, en un estudio de la rotacin de latierra sobre sus ejes, tal modelo es claramente inapropiado, de talmodo que podemos considerar a la tierra como una esfera o an msprecisamente como un esferoide ova- lado. 2. Solucin de lasecuaciones. Las ecuaciones formuladas en Etapa 1 necesitan serresueltas, sujetas a condiciones obtenidas del problema, pa- radeterminar la incgnita, o incgnitas, involucradas. Losprocedimientos - usados pueden producir una solucin exacta o, encasos donde soluciones exactas no se pueden obtener, solucionesaproximadas. Frecuentemente, para elaborar los clculos numricos serecurre al uso de calculadoras. El proceso de obtener solucionesfrecuentemente conduce a preguntas de natu- raleza puramentematemtica que algunas veces tienen mayor inters que el problemacientfico original. De hecho, muchos de los avances en las ma-temticas fueron obtenidos como un resultado de los intentos deresolver problemas en la ciencia y la ingeniera. *En lacontraportada del frente del texto se da una lista de referenciasde algunos de los contribuidores importantes a la teora yaplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Ecuacionesdiferenciales en general 11 29. 3. Interpretacin cientfica de lasolucin. Con el uso de las solucio- nes conocidas, el cientficopuede ser capaz de interpretar lo que est suce- diendo desde elpunto de vista aplicado. Puede hacer grficas o tablas y comparar Iateora con los experimentos. Puede incluso basar investigacinposterior en tales interpretaciones. Por supuesto que, si encuentraque los experimentos u observaciones no estn de acuerdo con lateora, debe revi- sar el modelo matemtico y su formulacin matemticahasta que se consi- ga un acuerdo razonable. Cada una de estasetapas es importante en la solucin final de un pro- blema aplicadoy, por esta razn, enfatizaremos todas las tres etapas en es- telibro. Puesto que, como uno podra esperar, las ecuacionesdiferenciales par- ciales son mucho ms complicadas que lasecuaciones diferenciales ordina- rias, la mayor parte de estelibro, esto es, los once captulos en las Partes I y II, se dedicana las ecuaciones diferenciales ordinarias. Las ecuacionesdiferenciales parciales se tratan en los tres captulos de la ParteIII. As, a menos que se diga lo contrario, cuando nos refiramos auna ecuacin dife- rencial implicaremos una ecuacin diferencialordinaria. EJERCICIOS A 1. Complete la siguiente tabla. (W y - 4y -5y = e3x (4 au a2u au -=4=+ay ( d ) (+$;+&$-3t te) d2x p- 3x =sen y (h) ( 2 x + y ) d x + ( x - 3 y ) d y = 0 6) y + xy = sen y(3 a27- d2T
solucionario ecuaciones diferenciales murray 428
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